ଅଭିନବ ବୀଜଗାଣିତିକ ବିଧି ବିଜ୍ଞାନ
ବୀଜ ଗାଣିତିକ
ବିଧି-ବିଜ୍ଞାନ
(ପ୍ରଥମ ଭାଗ)
ସଂକଳକ- ଶ୍ରୀ ହରିହର ପ୍ରସାଦ ଶତପଥୀ
ସଂକଳକ- ଶ୍ରୀ ହରିହର ପ୍ରସାଦ ଶତପଥୀ
ପ୍ରକାଶକ- ମା ମାର୍କମା କିଶୋର ସାହିତ୍ୟ ପ୍ରଚାର ମନ୍ଦିର,
ବିଷମକଟକ (କୋରାପୁଟ)
ବିତରକ-ଭାରତୀୟ ସେବା ସଂସ୍ଥା,
ଲିମାପଦର(କୋରାପୁଟ)
ମୁଦ୍ରଣ- ଶ୍ରୀକୃଷ୍ଣ ପ୍ରିଣ୍ଟିଂ ପ୍ରେସ୍,
ମହତାବ ରୋଡ, ଭୁବନେଶ୍ୱର-୨
ଶୁଭମୁକ୍ତି- ୨୬-୦୧-୧୯୯୦
ସହଯୋଗ- ଅନେଶୋତ ପଇସା ମାତ୍ର
- ( ୩ )
- ସଂକଳନ ସଂପର୍କରେ ପଦେ
- ଆଜିକାଲି ଅଧିକାଂଶ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ହାଇସ୍କୁଲ ସ୍ତରରେ
ଗଣିତରେ କମ୍ ନମ୍ବର ଆଣିବାର ଗୋଟିଏ କାରଣ
ହେଉଛି ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାଗତ ବିଧି ସଂପର୍କରେ ମୌଳିକ
ଜ୍ଞାନର ଅଭାବ । ସଂକଳିତ ବହିଟି ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନଙ୍କର
ଉକ୍ତ ଅସୁବିଧା ଦୂରକରିପାରିଲେ, ଶ୍ରମ ସାର୍ଥକ ହେଲା
ବୋଲି ମନେ କରିବି ।
- ଏ ପୁସ୍ତିକା ପ୍ରକାଶନ ସକାଶେ ପ୍ରେରଣା ଓ ସହଯୋଗ
କରିଥିବା ଯୋଗୁଁଁ ମୋର ଶ୍ରଦ୍ଧେୟ ବନ୍ଧୁ ଶ୍ରୀ ସରୋଜ କୁମାର
ମିଶ୍ର, ଶ୍ରୀ ସଦାନନ୍ଦ ସାହୁ, ଟିଲୁ, ପିଣ୍ଟୁ, ବାବୁଲି ତଥା ମା
ମାର୍କମା କିଶୋର ସାହିତ୍ୟ ପ୍ରଚାର ମନ୍ଦିର,ବିଷମକଟକଙ୍କ
ନିକଟରେ କୃତଜ୍ଞ ।
- ସଂକଳକ
ତା: ୨୬.୦୧.୧୯୯୦
ସାଧାରଣତନ୍ତ୍ର ଦିବସ
- ( ୫ )
ସରଳୀକରଣ ପାଇଁଁ ନିୟମ
୧. ବହୁପଦ ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିରେ +,-,×,÷ ଓ (), {}, [] ଇତ୍ୟାଦି ଗାଣିତିକ
ସଂକେତଗୁଡିକ ଏକତ୍ର ଥିଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ବନ୍ଧନି (Bracket) ,
ର(of), ହରଣ(Division), ଗୁଣନ(Multiplication), ମିଶାଣ(Addition) ଓ ଫେଡାଣ(Subtraction) କ୍ରମରେ ସରଳ କରାଯାଏ । ଏହାକୁ ସଂକ୍ଷେପରେ BODMAS (ବଦ୍ମାସ) ନିୟମ ବୋଲି ମନେ ରଖିବା ସହଜ ।
ଏକାଧିକ ବନ୍ଧନୀ କ୍ଷେତ୍ରରେ ପ୍ରଥମେ ରେଖା ବନ୍ଧନୀ(-),ଚନ୍ଦ୍ର ବନ୍ଧନୀ(),
କୁଟୀଳ ବନ୍ଧନୀ{} ଓ ବର୍ଗ ବନ୍ଧନୀ[] ଏହି କ୍ରମରେ ସରଳ କରାଯାଏ ।
୨. ବନ୍ଧନୀ ପୂର୍ବରୁ +(ଯୁକ୍ତ) ଚିହ୍ନ ଥିଲେ ବନ୍ଧନୀ ଅପସାରଣ ପରେ ବନ୍ଧନୀ
ଅନ୍ତର୍ଗତ ପଦମାନଙ୍କର ଚିହ୍ନ ( + ,- ) ବଦଳେ ନାହିଁଁ ।
୩. ବନ୍ଧନୀ ପୂର୍ବରୁ -(ବିଯୁକ୍ତ) ଚିହ୍ନ ଥିଲେ ବନ୍ଧନୀ ଅପସାରଣ ପରେ ବନ୍ଧନୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ
ପଦମାନଙ୍କର ଚିହ୍ନ ( + ,- ) ବଦଳେ ଅର୍ଥାତ୍ + ଚିହ୍ନ - ହୁଏ ଏବଂ - ଚିହ୍ନ + ହୁଏ ।
- ( ୬ )
୪. ଏକାଧିକ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଲବ ଥିବା ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ନିମ୍ନ ମତେ ଲେଖି ହୁଏ ଯଥା:-
a ±b ±c...... / x = a/x ±b/x ±c/x....
୫. ବହୁପଦ ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିର କେତେକ (କିମ୍ବା ସମସ୍ତ) ପଦକୁ ନେଇ ବନ୍ଧନୀ ସ୍ଥାପନ
କରିବାକୁ ହେଲେ:-
କ) ଯଦି ବନ୍ଧନୀ ପୂର୍ବରୁ ଯୁକ୍ତ (+) ଚିହ୍ନ ରହେ, ତେବେ ବନ୍ଧନୀ ସ୍ଥାପନ ପରେ ବନ୍ଧନୀ
ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଚିହ୍ନ ଗୁଡିକର ପୂର୍ବ ପରି ରହେ । କିନ୍ତୁ
ଖ) ଯଦି ବନ୍ଧନୀ ପୂର୍ବରୁ ବିଯୁକ୍ତ(-) ଚିହ୍ନ ରହେ, ତେବେ ବନ୍ଧନୀ ସ୍ଥାପନ ପରେ ବନ୍ଧନ
ମଧ୍ୟସ୍ଥ ରାଶି ଗୁଡିକର ଚିହ୍ନ ପରିବତ୍ତନ ହୁଏ ।
୬. ସଦୃଶ ପଦ ମାନଙ୍କର ଯୋଗ ବିୟୋଗ ପାଇଁଁ ନିୟମ
କ) ସଦୃଶ ପଦମାନଙ୍କର ଚିହ୍ନ ସମାନ ଥିଲେ, (ଉଭୟ + ବା -), ସରଳୀକରଣ ପରେ,
ସହଗ ଗୁଡିକର ଯୋଗହୁଏ ଏବଂ ଏହି ସରଳୀକୃତ ଫଳରେ ପୂର୍ବ ଚିହ୍ନ ହିଁ ବସେ ।
- ( ୭ )
ଖ) ସଦୃଶ ପଦମାନଙ୍କରେ ବିପରୀତ ଗାଣିତିକ ଚିହ୍ନ ଥିଲେ, (ଗୋଟିଏ +, ଅନ୍ୟଟି -)
ସରଳୀକରଣ ପରେ, ବୃହତ୍ତର ସହଗରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସହଗ ବିୟୋଗ କରାଯାଇ ଉକ୍ତ
ସରଳୀକୃତ ଉତ୍ତରରେ ବୃହତ୍ତର ସହଗର ଚିହ୍ନ ହିଁ ବସେ ।
[ସଦୃଶପଦ- ସମାନ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକା ସଂକେତ ବା ଅକ୍ଷରକୁ ନେଇ ଗଠିତ ।
ଅସଦୃଶ ପଦ - ପଦଗୁଡିକ ଭିନ୍ନ ଅକ୍ଷର ବିଶିଷ୍ଟ ବା ଏକା ସଂକେତ ଏବଂ ଭିନ୍ନ ଘାତାଙ୍କ
ହେଲେ, ଅସଦୃଶ ଅଟନ୍ତି ।]
ଗ) ଯେତୋଟି ଅସଦୃଶ ପଦ ଯୋଗ କରାଯିବ, ଯୋଗଫଳ ସେତିକି ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ
ବହୁପଦ ରାଶି ହେବ ।
୭) ସମ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପଦ ମାନଙ୍କରେ ଗୁଣନ (କିମ୍ବା ହରଣ) ପାଇଁ ଚିହ୍ନ ସହ ଚିହ୍ନର,
ସହଗ ସହିତ ସହଗର ଓ ରାଶି ସହ ରାଶିର ଗୁଣନ (କିମ୍ବା ହରଣ) କରାଯାଏ ।
୮) ଏକା ପ୍ରକାର ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱୟର (+,+ କିମ୍ବା -,-) ଗୁଣଫଳ କିମ୍ବା ଭାଗଫଳ = +
୯) ବିପରୀତ ପ୍ରକାର ଚିହ୍ନଦ୍ୱୟର ( +,- କିମ୍ବା -,+) ଗୁଣଫଳ କିମ୍ବା ଭାଗଫଳ =
- (୮)
୧୦) ସମଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିଗୁଡିକର ଗୁଣନ (କିମ୍ବା ହରଣ)ରେ
ସରଳୀକରଣ ପରେ ଆଧାର ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହି ଘାତାଙ୍କସବୁ ଯୋଗ
(କିମ୍ବା ବିୟୋଗ)ହୁଏ । [ଘାତାଙ୍କ ନିୟମ ଦେଖ]
୧୧) ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡିକର ଯୋଗ/ବିୟୋଗ ପାଇଁ ନିୟମ
କ) ସଂପୃକ୍ତ ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡିକର ହରମାନଙ୍କର ଲ:ସା:ଗୁ: ନେଲେ ତାହା
ସରଳୀକୃତ ଭଗ୍ନାଂଶର ହର ହେବ ।
ଖ) ଉପରୋକ୍ତ ଲ:ସା:ଗୁ:କୁ ପ୍ରଥମ ଭଗ୍ନାଂଶର ହର ଦ୍ୱାରା ହରି ପ୍ରାପ୍ତ
ଭାଗଫଳକୁ ସେହି ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବରେ ଗୁଣି ଗୁଣଫଳକୁ ଲେଖ ।
ଗ) ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦ୍ୱାରା ସମସ୍ତ ଭଗ୍ନାଂଶରୁ ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକରେ ଦତ୍ତ
ଚିହ୍ନ ବସାଇ ସରଳ କଲେ, ତାହା ସରଳୀକୃତ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ହେବ ।
୧୨) ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ (କିମ୍ବା ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା) ଦ୍ୱାରା
ଭାଗ କରିବାକୁ ହେଲେ ପ୍ରଥମ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ଦ୍ୱିତୀୟ ଭଗ୍ନାଂଶର ଅନ୍ୟୋନ୍ୟକ
(ଲବ ସ୍ଥାନରେ ହର ଏବଂ ହର ସ୍ଥାନରେ ଲବ) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବାକୁ ପଡେ ।
- (୯)
୧୩. କୌଣସି ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ଓ ହରକୁ ସମାନ ସମାନ ରାଶି ଦ୍ୱାରା (୦ ବ୍ୟତୀତ) ଗୁଣିଲେ (କିମ୍ବା ହରିଲେ) ଭଗ୍ନାଂଶର ମାନ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ନାହିଁ ।
୧୪. ଶୂନ୍ୟ (୦) ସହ ଯେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା ଶୂନ୍ୟ (୦) ହୁଏ ।
୧୫. କୌଣସି ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ଶୂନ୍ୟ (୦) ହେଲେ, ଭଗ୍ନାଂଶର ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ୍ୟ (୦) ହୁଏ, କିନ୍ତୁ ହର ଶୂନ୍ୟ (୦) ହେଲେ ଭଗ୍ନାଂଶର ମୂଲ୍ୟ ନିରର୍ଥକ ହୁଏ । ତେଣୁ କୌଣସି ରାଶିକୁ ଶୂନ୍ୟ (୦) ସହ ଭାଗ କରାଯାଏ ନାହିଁ ।
୧୬. ସୁତ୍ରୋପଯୋଗୀ କରିବା ପାଇଁ
ଦତ୍ତ ରାଶିରେ ସମାନ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ କରାଗଲେ/ ଦତ୍ତ ରାଶିକୁ ସମାନ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ ଓ ହରଣ କରାଗଲେ/ଦତ୍ତ ରାଶିର ବର୍ଗ ବା ବର୍ଗମୂଳ ନେଇ ତାହାକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ବର୍ଗମୂଳ ବା ବର୍ଗ ଚିହ୍ନଯୁକ୍ତ କରିଦେଲେ, ଦତ୍ତ ରାଶିର ମୂଲ୍ୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ନାହିଁ ।
- (୧୦)
ସମୀକରଣ ପାଇଁଁ ନିୟମ
୧୭ .ସମୀକରଣକୁ ସରଳ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ ବନ୍ଧନୀ ଭଗ୍ଣାଂଶ ଥିଲେ, ସେଗୁଡିକୁ ଅପସାରଣ କରାଯାଏ ।ଏହାଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଯୋଗ, ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନଯୁକ୍ତ କେତେକ ପଦ ଥିବାର ଦେଖାଯାଏ ।
୧୮ .ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ସମ୍ବଳିତ ସମସ୍ତ ପଦ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଓ ଜ୍ଞାତରାଶିର ପଦଗୁଡିକୁ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱକୁ ପକ୍ଷାନ୍ତର କରାଯାଏ ।
କ)ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱରେ ଏକାଧିକ ଅଜ୍ଞାତରାଶି ସମ୍ବଳିତ ପଦଗୁଡିକୁ ଏକତ୍ର କରାଯାଇ ଗୋଟିଏ ପଦରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ଓ
ଖ)ସେହିପରି ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱରେ ଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ପଦଗୁଡିକୁ ଏକତ୍ର କରାଯାଏ | ଏହା ଫଳରେ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱରେ ହୁଏତ ବିଶିଷ୍ଟ ପଦ ମିଳିବ ।
୧୯ .ଆବଶ୍ୟକ ଅନୁସାରେ ସମୀକରଣ ଦୁଇ ପକ୍ଷକୁ ସମାନ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣାଯାଇ ପାରେ ।
- (୧୧)
କିମ୍ବା ହରାଯାଇପାରେ | ସେହିପରି ଉଭୟ ପକ୍ଷରେ ସମାନ ସମାନ ରାଶି ଯେ।ଗ/ବିଯେ।ଗ କରାଯାଇପାରେ |ଏହା ବ୍ୟତୀତ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପକ୍ଷର ସମାନ ସମାନ ଘାତ ମଧ୍ୟ ନିଆଯାଇପାରେ |
୨୦.ସମୀକରଣର ବାମପକ୍ଷ କିମ୍ବା ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ କିମ୍ବା ବାମପକ୍ଷ ହିସାବରେ ଲେଖିଲେ କୌଣସି ଚିହ୍ନ ପରିବର୍ତନକରାଯାଏ ନାହିଁ | କିନ୍ତୁ କୌଣସି ପକ୍ଷରୁ ଏକ ବା ଏକାଧିକ ରାଶି ପକ୍ଷାନ୍ତର କରିବା ବେଳେ ସେଗୁଡିକୁ ଅବଶିଷ୍ଟ ରାଶି ସହ ହେଉଁ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ସଂଶ୍ଳିଷ୍ଟ ଥାନ୍ତି,ପକ୍ଷାନ୍ତର ପରେ ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ ବିପରୀତ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ସଂଶ୍ଳିଷ୍ଟ ହୁଅନ୍ତି | ଅର୍ଥାତ୍ :-
କ) ଯେ।ଗକ୍ରିୟା (+) ଲିପ୍ତରାଶି ପକ୍ଷାନ୍ତର ପରେ ବିୟେ।ଗ ହୁଏ ।
ଖ) ବିୟେ।ଗକ୍ରିୟା (-) ଲିପ୍ତରାଶି ପକ୍ଷାନ୍ତର ପରେ ଯେ।ଗ ହୁଏ ।
ଗ) ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱରେ ଭାଜକକୁ ଅପସାରଣ କଲେ, ତାହା ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱର ଗୁଣନ ହୁଏ ଓ ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱର ଗୁଣନକୁ ଅପସାରଣ କଲେ ତାହା ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ୱ୍ୱର ଭାଜକ ହୁଏ ।
- (୧୨)
୨୧. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପକ୍ଷ ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶ ହୋଇ ଥିଲେ,ଉଭୟର ଲବ ବା ଉଭୟର ହରରୁ ଗୁଣନୀୟକ ଆକାରରେ ଥିବା ସମାନ ସମାନ ରାଶି (୦ ବ୍ୟତୀତ ) ବାଦ୍ ଦିଆଯାଇପାରିବ ।
୨୨. ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନାଂଶ ସମାନ ହେଲେ,ପ୍ରଥମଟିର ଲବ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟଟିର ହର ଗୁଣଫଳ, ଦ୍ୱିତୀୟଟିର ଲବ ଓ ପ୍ରଥମଟିର ହରର ଗୁଣଫଳ ସଙ୍ଗେ ସମାନ | ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କୁହାଯାଏ ।
ଯଥା a/b =c/d ହେଲେ axd = bxc ହେବ ।
୨୩. ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନାଂଶ ପରସ୍ପର ସମାନ ହେଲେ , ସେମାନଙ୍କ ଅନ୍ୟନ୍ୟୋକ * ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟ ପରସ୍ପର ସମାନ ହେବେ ।
୨୪. ଦୁଇ ବା ତତୋଧିକ ରାଶିର ଗୁଣଫଳ ଶୂନ୍ୟ (୦) ହେଲେ, ତନ୍ମଧ୍ୟରୁ ଅନ୍ତତ ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ସମସ୍ତ ରାଶିର ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ୍ୟ (୦) ହେବ ।
୨୫. କୌଣସି ଭଗ୍ନାଂଶର ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ୍ୟ (୦) ସହ ସମାନ ହେଲେ , ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ହିଁ ଶୂନ୍ୟ (୦) ସହ ସମାନ ହୁଏ ।
୨୬ . a, b, c, d ଅଖଣ୍ଡ ଧନସଂଖ୍ୟା ଏବଂ a+b=c+d ସ୍ଥଳରେ a>c ହେଲେ, b<d ହେବ ।
- (୧୩)
ଲ.ସା.ଗୁ/ଗସାଗୁ ପାଇଁ ନିୟମ
୨୭ ମିଶ୍ରରାଶି ଗୁଡିକ ପାଇଁ ରାଶିଗୁଡିକୁ ଏକଜାତୀୟ ଏକକରେ ପ୍ରକାଶ କରି ତାପରେ ଲ:ସା:ଗୁ/ଗ:ସା:ଗୁ ନିଆଯାଏ |
୨୮ ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି (ପଲିନୋମିଆଲ୍) ମାନଙ୍କରେ ପ୍ରତି ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ପାଇଁ ସର୍ବାଧିକ ଘାତ ବିଶିସ୍ଟ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ନେଲେ ଲ:ସା:ଗୁ ମିଳେ ଏବଂ ଉପରୋକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତ ନେଲେ ଗ:ସା:ଗୁ ମିଳିଥାଏ |
୨୯ ଲ:ସା:ଗୁ
କ) ଦତ୍ତ ପଦଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଗୁଣନୀୟକରେ ବିଶ୍ଲେସଣ କର |
ଖ) ଦତ୍ତ ରାଶିଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଣନୀୟକର ସର୍ବାଧିକ ଘାତ ନେଇ, ସେଗୁଡିକର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣୟ କର |
ଗ) ଏହି ଗୁଣଫଳ ଦତ୍ତ ରାଶିମାନଙ୍କର ଲ:ସା:ଗୁ ଅଟେ |
- ( ୧୪ )
୩୦ ନୂତନ ପଦ୍ଧତିରେ ଲ:ସା:ଗୁ
(କେବଳ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ)
ବୃହତର ସଂଖ୍ୟାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସଂଖ୍ୟର ବିୟେ।ଗଫଳ ବାହାର କର | ଉକ୍ତ ବିୟେ।ଗଫଳକୁ ଲବ, ଓ ବୃହତ୍ତର ହର ନେଇ ଗଠିତ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ(ଯଦି ସମ୍ଭବ) ଲଘିଷ୍ଠ କର | ବର୍ତମାନ ଉପରେ।କ୍ତ ଲଘିଷ୍ଠ ଭଗ୍ନାଂଶର ହର ସହିତ ଦତ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସଂଖ୍ୟର ଗୁଣଫଳ ହିଁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଲ:ସା:ଗୁ |(M.T.ରୁ ସଂଗହୀତ)
୩୧ ଦୁଇରୁ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗ:ସା:ଗୁ ଯାହା, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ
ଯଥାକ୍ରମେ ଦୁଇଦୁଇଟିର ଅନ୍ତରଫଳ ନେଲେ ସେମାନଙ୍କର ଗ:ସା:ଗୁ ମଧ୍ୟ ତାହା ହୁଏ |
୩୨ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର (କିମ୍ବା ଭଗ୍ନାଂଶର ) ଲ:ସା;ଗୁ ଏବଂ ଗ:ସା:ଗୁର ଗୁଣଫଳ,ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର (ଭଗ୍ନାଂଶଦ୍ୱୟର) ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ |
ସେମାନଙ୍କର ସେବା କରିବାରେ-
ଆପଣଙ୍କ ସାହାଯ୍ୟ ଓ
ସହଯୋଗ ହିଁ
ଆମର କାମ୍ୟ-
ନିବେଦକ
ଭାରତୀୟ ସେବା ସଂଘ